統計学輪講（第２１回）

日時      2008年10月7日(火)    15時〜16時40分
場所      経済学部新棟３階第３教室
講演者    倉田 博史 (情報学環／総合文化研究科)
演題      ユークリッド距離行列の性質、特に順序構造とブロック構造について

概要

Euclid 距離行列の概念は、統計科学における多次元尺度構成法を始め様々な
領域に広く応用されている。その定義は次の通りである。すなわち、Euclid空間
にn個の点が与えられたとき、それらの相互距離をn×n非負対称行列の形に書ける
のは明らかである。この逆が成り立つとき、すなわち、所与のn×n非負対称行列
に対して、それを相互距離として持つn個の点の配置が適当な次元のEuclid空間
に存在するとき、その行列をEuclid 距離行列(Euclidean distance matrix)と言
う。
 本報告では、Euclid距離行列の持つ性質のうち、順序構造とブロック構造とに
焦点を当てて解説する。
（１）順序構造：Euclid 距離行列の空間に置換行列群によって誘導される順
序を定義し、その構造を調べる。具体的には、Euclid 距離行列がこの順序の意
味で大となると、Euclid 距離行列の固有値の散らばりが(マジョライゼーション
の意味で)大となる、などの不等式を導く。
（２）ブロック構造：Euclid距離行列がブロック構造を持つとは、対応するn
個の点配置が幾つかの球面に乗っていることである。このような行列の特徴付け
について議論する。

(1)は山形大学の佐久間雅准教授との共同研究（Kurata and Sakuma (2007,
Linear Algebra and its Applications)として既刊）とKurata (2008)。(2)はテ
キサスＡ＆Ｍ大学数学統計学科のPablo Tarazaga 教授との共同研究(Kurata and
Tarazaga (2008))にもとづく。